Algèbre linéaire

Notes personnelles d’un cours d’algèbre linéaire niveau terminale.

Espaces vectoriels

Définition (simplifiée)

On appelle espace vectoriel $E$ un ensemble doté d’une opération d’addition commutative et d’une opération de multiplication par un scalaire (c’est à dire un élément de $\R$ ou $\C$ pour simplifier) tel que :
Pour tout $a$ et $b$ des scalaires et pour tout $ u $ et $ v $ des éléments de $ E $ on a $ au+bv \in E $

$ au + bv $ est appelée une combinaison linéaire de $ u $ et $ v $ et on dit que $ E $ est stable par combinaison linéaire.

Dans la suite on n’utilisera que des scalaires dans $ \R $ ($ \R $-espace vectoriel)

Exemples

On remarque que $R$ est un espace vectoriel. En effet si $a$, $b$, $u$ et $v$ sont des réels, on a bien $au+bv$ un réel. La définition est vérifiée.

Les vecteurs du plan forment un espace vectoriel. En effet si on a $u$ et $v$ des vecteurs et $a$ et $b$ des réels, $au+bv$ est bien un vecteur du plan.

Les vecteurs de l’espace forment également un espace vectoriel différent.

Les polynomes à coeficient dans $\R$ forment un espace vectoriel. Si $a$ et $b$ sont des réels et $u$ et $v$ des polynomes, $au+bv$ est bien un polynome.

Les polynomes de degrés inferieurs ou égal à $n$ ($n$ étant un entier), forment un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des polynomes.

Les fonctions continues sur $\R$ forment un espace vectoriel.

Famille libre de vecteurs

On appelle une famille libre de vecteur un ensemble de vecteurs de $E$ tel qu’aucun ne peut s’exprimer sous la forme d’une combinaison linéaire des autres.

Exemple

Pour les vecteurs du plan, une famille libre est constituée par deux vecteurs non colinéaires. On remarque qu’il n’est pas possible de constituer une famille libre de 3 vecteurs du plan.
On appelle une base de l’espace vectoriel une famille libre maximale de cet espace. C’est à dire qu’il n’est pas possible d’ajouter de vecteurs à la famille sans que ce vecteur soit une combinaison linéaire des précédents.
On appelle dimension le cardinal d’une base de l’espace vectoriel.

Pour les vecteurs du plan la dimension est de 2. Pour les vecteurs de l’espace la dimension est de 3. Pour l’ensemble des polynomes la dimension est $+\infty$.

Pour les polynomes de degrés inferieur ou égal à $n$ la dimension est de $n+1$
Pour les polynomes de degrés inferieur ou égal à 2, la dimension est de 3. La base canonique est {$x^2,x,1$}.

Cas particulier des vecteurs du plan

$\overrightarrow{\rm u}$ et $\overrightarrow{\rm v}$ ne sont pas collinéaires, il s’agit d’une famille libre de deux éléments dans un espace à deux dimensions. $\overrightarrow{\rm u}$ et $\overrightarrow{\rm v}$ forment donc une base des vecteurs du plan.

Les coordonnées de $\overrightarrow{\rm p}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm i},\overrightarrow{\rm j})$ sont $(10,7)$ car $\overrightarrow{\rm p} = 10\overrightarrow{\rm i}+7\overrightarrow{\rm j}$
Les coordonnées de $\overrightarrow{\rm p}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v})$ sont $(1,2)$ car $\overrightarrow{\rm p} = \overrightarrow{\rm u}+2\overrightarrow{\rm v}$

Les coordonnées de $\overrightarrow{\rm u}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm i},\overrightarrow{\rm j})$ sont $(2,3)$ car $\overrightarrow{\rm u} = 2\overrightarrow{\rm i}+3\overrightarrow{\rm j}$
Les coordonnées de $\overrightarrow{\rm v}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm i},\overrightarrow{\rm j})$ sont $(4,2)$ car $\overrightarrow{\rm v} = 4\overrightarrow{\rm i}+2\overrightarrow{\rm j}$

Grâce à un système on peut en déduire les coordonnées de $\overrightarrow{\rm i}$ et $\overrightarrow{\rm j}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v})$ :
$$ \overrightarrow{\rm u} = 2\overrightarrow{\rm i}+3\overrightarrow{\rm j} $$ $$ \overrightarrow{\rm v} = 4\overrightarrow{\rm i}+2\overrightarrow{\rm j} $$

$ 2\overrightarrow{\rm u}-\overrightarrow{\rm v}=4\overrightarrow{\rm i}+6\overrightarrow{\rm j}-4\overrightarrow{\rm i}-2\overrightarrow{\rm j} $
$ 2\overrightarrow{\rm u}-\overrightarrow{\rm v}=4\overrightarrow{\rm j} $
$ \overrightarrow{\rm j} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\rm u}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm v} $

$ 2\overrightarrow{\rm u}-3\overrightarrow{\rm v}=4\overrightarrow{\rm i}+6\overrightarrow{\rm j}-12\overrightarrow{\rm i}-6\overrightarrow{\rm j} $
$ 2\overrightarrow{\rm u}-3\overrightarrow{\rm v}=-8\overrightarrow{\rm i} $
$ \overrightarrow{\rm i}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm u}+\frac{3}{8}\overrightarrow{\rm v} $

Les coordonnées de $\overrightarrow{\rm i}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v})$ sont $(-\frac{1}{4},\frac{3}{8})$ car $\overrightarrow{\rm i} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm u}+\frac{3}{8}\overrightarrow{\rm v}$
Les coordonnées de $\overrightarrow{\rm j}$ dans la base $(\overrightarrow{\rm u},\overrightarrow{\rm v})$ sont $(\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$ car $\overrightarrow{\rm j} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\rm u}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm v}$

Application linéaire

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, on appelle application linéaire une fonction $f$ de $E$ dans $F$ tel que si $a$ et $b$ sont des scalaires et $\overrightarrow{\rm u}$ et $\overrightarrow{\rm v}$ des vecteurs alors $f(a\overrightarrow{\rm u}+b\overrightarrow{\rm v})=a f(u)+b f(v)$

Exemple

Si $E=F$ est l’espace vectoriel des vecteurs du plan, les rotations, les symétries centrales, les symétries axiales, les projections, les homothetie et leurs composés sont des applications linéaires.

Remarque

Pour déterminer une application linéaire il suffit de connaître l’image d’une base.
Soit $\overrightarrow{\rm i}$ et $\overrightarrow{\rm j}$ une base de $E$, si $f(\overrightarrow{\rm i})=\overrightarrow{\rm u}$ et $f(\overrightarrow{\rm j})=\overrightarrow{\rm v}$, tout vecteur $\overrightarrow{\rm k}$ de $E$ s’exprime dans la base sous forme $\overrightarrow{\rm k}=a\overrightarrow{\rm i}+b\overrightarrow{\rm j}$ et donc $f(\overrightarrow{\rm k})=f(a\overrightarrow{\rm i}+b\overrightarrow{\rm j})=af(\overrightarrow{\rm i})+bf(\overrightarrow{\rm j})=a\overrightarrow{\rm u}+b\overrightarrow{\rm v}$

Matrices

Introduction

Considérons l’application linéaire de l’espace vectoriel des vecteurs du plan tel que :

$$ \overrightarrow{\rm u} = f(\overrightarrow{\rm i}) = 2\overrightarrow{\rm i}+3\overrightarrow{\rm j} $$ $$ \overrightarrow{\rm v} = f(\overrightarrow{\rm j}) = 4\overrightarrow{\rm i}+2\overrightarrow{\rm j} $$

Calculons $f(\overrightarrow{\rm w})$ tel que $\overrightarrow{\rm w}=3\overrightarrow{\rm i}-5\overrightarrow{\rm j}$
$f(\overrightarrow{\rm w})=3f(\overrightarrow{\rm i})-5f(\overrightarrow{\rm j})=3\overrightarrow{\rm u}-5\overrightarrow{\rm v}=3(2\overrightarrow{\rm i}+3\overrightarrow{\rm j}) - 5(4\overrightarrow{\rm i}+2\overrightarrow{\rm j}) = [3 \times 2 - 5 \times 4]\overrightarrow{\rm i} + [3 \times 3 - 5 \times 4]\overrightarrow{\rm j} $

Définition

Quand $E$ et $F$ sont de dimensions finies on peut simplifier la notation en utilisant des matrices.
En reprenant l’exemple de l’introduction on note $M$ la matrice représentative de $f$ :

$$ \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} $$

La matrice est constituée des vecteurs images de la base sous forme de colonnes juxtaposées. Pour calculer l’image du vecteur $ \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \end{bmatrix} $ il suffit de le multiplier par la matrice, la multiplication étant définie de la manière suivante :
$$ \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 + 4 \times -5 \\ 3 \times 3 + 2 \times -5 \end{bmatrix} $$

La multiplication de deux matrices correspond à la composée des deux applications linéaires.