Intégrales

Notes personnelles d’un cours sur les intégrales niveau terminale.

Rappels sur les dérivées

La dérivée au point $A$ est le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point $A$. Cette tangente est la limite de la droite $AB$ quand $B$ tend vers $A$. La dérivée est donc:

$$ \lim_{B \to A} \frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} $$

Posons que l’abscisse de $A$ est $x$ et que l’abscisse de $B$ est $x+dx$ où $dx$ est une quantité tendant vers $0$. On suppose que $A$ et $B$ sont sur le représentation graphique de la fonction $f$ dérivable en $A$.

$$ f’(x)=\lim_{dx \to 0} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} $$

Cas pratique : calcul de la limite

$$ f(x)=x^2 $$

$$ \lim_{dx \to 0} \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} = \lim_{dx \to 0} \frac{dx(2x+dx)}{dx} = \lim_{dx \to 0} (2x+dx) = 2x $$

On retrouve bien la formule de la dérivée de $x^2$.

Calcul de surface

Soit une fonction $f$ positive, croissante, continue et dérivable sur $[OI]$.

On se propose de calculer la surface (notée A) située entre la courbe d’équation $f(x)=x^2$ , l’axe des abscisses et le segment $IJ$. Pour cela on encadre la courbe avec deux fonctions en escalier. Une qui est inférieure à la courbe, et une autre qui est supérieure à la courbe. On créé deux suites de fonctions en escalier avec un nombre de marches croissant. $E_n^+$ est la fonction supérieure et $E_n^-$ est la fonction inférieure.

$$ E_n^- \le f \le E_n^+ $$

En passant aux surfaces:

$$ \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{I}}{n} f( \frac{i \times x_{I} }{n} ) \le A \le \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{I}}{n} f( \frac{i \times x_{I} }{n} ) $$

En faisant tendre $n$ vers l’infini, les sommes de part et d’autres tendent vers la même limite A.

Application d’un cas particulier

On part de $ f(x)=x^2 $

Calcul du minorant ($E_n^-$) :

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{I}}{n} f( \frac{i \times x_{I} }{n} ) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{I}}{n} \frac{i^2 \times x_{I}^2}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i^2 \times x_{I}^3}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1}i^2 $$

Or on admet que : $$ \sum_{i=0}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

Donc : $$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{I}}{n} f(\frac{i \times x_{I}}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{n^3} \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{n^3} \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} \frac{n(n-1)(2n-1)}{n^3} $$

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{I}}{n} f(\frac{i \times x_{I}}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} \frac{2n^3-3n^2-n}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} \frac{2n^2-3n-1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} [\frac{2n^2-3n-1}{n^2}] $$

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{x_{I}}{n} f(\frac{i \times x_{I}}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} [{2}- \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2} ] = \frac{x_{I}^3}{3} $$

Presque le même calcul pour le majorant : $$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{I}}{n} f( \frac{i \times x_{I} }{n} ) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{I}}{n} \frac{i^2 \times x_{I}^2}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i^2 \times x_{I}^3}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{n^3} \sum_{i=1}^{n}i^2 $$

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{I}^3}{6} \frac{x_{I}}{n} f(\frac{i \times x_{I}}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} \frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3} $$

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{I}}{n} f(\frac{i times x_{I}}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} \frac{2n^3+3n^2+n}{n^3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} \frac{2n^2+3n+1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} [\frac{2n^2+3n+1}{n^2}] $$

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{I}}{n} f(\frac{i \times x_{I}}{n}) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_{I}^3}{6} [{2} + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2} ] = \frac{x_{I}^3}{3} $$

On a donc quand $n$ tend vers l’infini:
$$ \frac{x_{I}^3}{3} \le A \le \frac{x_{I}^3}{3} $$

Et donc : $$ A = \frac{x_{I}^3}{3} $$

Si on considère que I a pour abscisse x on a : $$ A(x) = \frac{x^3}{3} $$

Calculons la dérivée de A: $$ A’(x) = \frac{3x^2}{3} = x^2 = f(x) $$

On remarque que la dérivée de A est la fonction de départ. Est-ce un cas particulier?

Expression de l’aire avec une limite

Soit $f$ positive, croissante, continue et dérivable sur $\R^+$.
Soit $A(x)$ la fonction qui donne l’aire située entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses et la droite verticale d’abscisse $x$.

$$ A(x+dx)=A( x)+ \frac{f(x+dx)+f(x)}{2} dx $$
$$ \frac{A(x+dx)-A(x)}{dx} = \frac{f(x+dx)+f(x)}{2} $$

Passons à la limite lorsque dx tend vers $0$ : $$ \lim_{dx \to 0} \frac{f(x+dx)+f(x)}{2}= f(x) $$ $$ f(x) = \lim_{dx \to 0} \frac{A(x+dx)-A(x)}{dx} $$

On conclut donc que la dérivée de $A$ est $f$ : $A’(x) = f(x)$
On note $F’(x) = f(x)$ et on dit que $F$ est une primitive de $f$

Exemple:
$f(x)=e^{2x}$
$f’(x)=2e^{2x} $
$F(x)=e^{2x} / 2 + C$ où $C$ est une constante

Intégrale

Soit $f$ une fonction positive continue sur $\R$. Soit $F$ une primitive de $f$.

On cherche à calculer la surface entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les deux droites d’abscisse x1 et x2.
$A = F(x_{1})-F(x_{2})$
On note : $$ A = \int_{x_{1}}^{x_{1}} f(x) dx = [F(x)]{ x{1} }^{ x_{2} }=F( x_{2} )-F( x_{1} ) $$

On remarque que quelque soit la constante associée à la primitive $F$, elle s’annule dans le calcul.